Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的四个顶点A，B，C，D构成的四边形为菱形，若菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是（　　）

• A．

  3 5

  2

• B．

  3+ 5

  8

• C．

  5 -1

  2

• D．

  5 +1

  4

Answer 1

分析：根据题意，设出直线AB的方程，利用菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，可得原点到直线AB的距离等于半焦距，从而可求椭圆的离心率．

解答：解：由题意，不妨设点A（a，0），B（0，b），则直线AB的方程为：

x

a

+

y

b

=1
即bx+ay-ab=0
∵菱形ABCD的内切圆恰好过焦点
∴原点到直线AB的距离为

|ab|

b2+a2

=c
∴a²b²=c²（a²+b²）
∴a²（a²-c²）=c²（2a²-c²）
∴a⁴-3a²c²+c⁴=0
∴e⁴-3e²+1=0
∴e2=

3± 5

2

∵0＜e＜1
∴e=

5 -1

2

故选C．

点评：本题重点考查椭圆的几何性质，解题的关键是利用菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，得到原点到直线AB的距离等于半焦距．