Question

6．已知函数f（x）=|2x-1|+|x+1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a的解集为∅，求参数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：去掉绝对值，求得函数f（x）的解析式：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x}&{x≥\frac{1}{2}}\\{2-x}&{-1≤x≤0}\\{-3x}&{x＜-1}\end{array}\right.$，分类分别求得f（x）≥2的解，即可求得不等式f（x）≥2的解集；
（Ⅱ）由题意可知：f（x）≥a对一切实数x恒成立，分类求得函数f（x）的最大值，即可求得参数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当x≥$\frac{1}{2}$时，f（x）=2x-1+x+1=3x，
当-1≤x≤$\frac{1}{2}$时，f（x）=-2x+1+x+1=2-x，
当x＜-1时，f（x）=-2x+1-x-1=-3x，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x}&{x≥\frac{1}{2}}\\{2-x}&{-1≤x≤0}\\{-3x}&{x＜-1}\end{array}\right.$，
由f（x）≥2，
则当x≥$\frac{1}{2}$时，f（x）=3x≥2，解得：x≥$\frac{2}{3}$，
当-1≤x≤$\frac{1}{2}$时，f（x）=2-x≥2，解得：-1≤x≤0，
当x＜-1时，f（x）=-3x≥2，解得：x＜-1，
综上可知：不等式f（x）≥2的解集（-∞，0]∪[$\frac{2}{3}$，+∞）；
（Ⅱ）由题意可知：f（x）＜a的解集为∅，即f（x）≥a对一切实数x恒成立，
当x≥$\frac{1}{2}$时，f（x）≥3x≥$\frac{3}{2}$，
当-1≤x≤$\frac{1}{2}$，f（x）=2-x≥$\frac{3}{2}$，
当x＜-1时，f（x）=-3x＞3，
综上可知：f（x）_max=$\frac{3}{2}$，
∴a≤$\frac{3}{2}$．
参数a的取值范围（-∞，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查求含绝对值的函数得解析式的方法，考查不等式的解法，考查不等式恒成立问题的综合应用，考查计算能力，属于中档题．