Question

14．已知A（1，-1），B（4，0），C（2，2）．平面区域D由所有满足$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成．若区域D的面积为8，则的a+4b最小值为9．

Answer 1

分析 由题意画出图形，设P的坐标为（x，y），由已知求出向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$的坐标，进而可得cos∠BAC值，求出sin∠BAC，可得区域D的面积S=$\sqrt{10}$（a-1）×$\sqrt{10}$（b-1）×sin∠BAC，然后利用基本不等式求得a+4b的最小值．

解答 解：如图所示，
延长AB到点N，延长AC到点M，使得|AN|=a|AB|，|AM|=b|AC|，作CH∥AN，BF∥AM，NG∥AM，MG∥AN，则四边形ABEC，ANGM，EHGF均为平行四边形．由题意可知：点P（x，y）组成的区域D为图中的四边形EFGH及其内部．
∵点A（1，-1），B（4，0），C（2，2），
∴$\overrightarrow{AB}$=（3，1），$\overrightarrow{AC}$=（1，3），
则cos∠BAC=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{3+3}{\sqrt{10}×\sqrt{10}}$=$\frac{3}{5}$，
∴sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，
若平面区域D由所有满足$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成的区域．
则区域D的面积S=$\sqrt{10}$（a-1）×$\sqrt{10}$（b-1）×sin∠BAC=8[ab-（a+b）+1]=8，
∴（a-1）（b-1）=1，即$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$．
∴a+4b=（a+4b）$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$=5+$\frac{a}{b}+\frac{4b}{a}$≥5$+2\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{4b}{a}}$=9，当且仅当a=2b=3时取等号．
∴a+4b的最小值为9．
故答案为：9．

点评 本题考查的知识点是平面向量的基本定理，其中求出区域D的面积S=$\sqrt{10}$（a-1）×$\sqrt{10}$（b-1）×sin∠BAC是解答的关键，是中档题．