Question

5．已知点Q（5，4），若动点P（x，y）满足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{x+y-2≤0}\\{y-1≥0}\end{array}\right.$，则|PQ|的最小值为（　　）

• A． $\frac{7\sqrt{2}}{2}$
• B． $\sqrt{29}$
• C． 5
• D． 以上都不正确

Answer 1

分析 由约束条件作出P点的区域，求出BQ连线的斜率，求得的斜率小于1，可知过Q点作直线x+y-2=0的垂线，垂足在直线上B的下方，由此可知当P在B点处PQ的距离最小．

解答 解：由约束条件满足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{x+y-2≤0}\\{y-1≥0}\end{array}\right.$，P（x，y）所在区域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，得B（1，1），
∵k_QB=$\frac{3}{4}$，过Q点与直线x+y-2=0垂直的直线的斜率为1，
∴过Q点作直线x+y-2=0的垂线，垂足在直线上B的下方，
∴可行域内的点P为点B时PQ的值最小，最小值为$\sqrt{（5-1）^{2}+（4-1）^{2}}$=5．
故选：C．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是找出使PQ值最小的点，是中档题．