Question

13．极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C₁的极坐标方程为ρ²cos2θ=3，曲线C₂的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=t+m}\\{y=2t-1}\end{array}}\right.$，（t是参数，m是常数）
（1）求C₁的直角坐标方程和C₂的普通方程；
（2）若C₂与C₁有两个不同的公共点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标与直角坐标互化，以及参数方程与普通方程的互化求解即可．
（2）联立两个普通方程，利用判别式列出不等式求解即可．

解答 解：（1）由极坐标与直角坐标互化公式得${C_1}：{ρ^2}（{cos^2}θ-{sin^2}θ）=3$，所以x²-y²=3；---------------（2分）
消去参数t得C₂的方程：y=2x-2m-1----------------------（4分）
（2）由（1）知C₁是双曲线，C₂是直线，把直线方程代入双曲线方程消去y得：3x²-4（2m-1）x+4m²+4m+4=0，-------------------------（7分）
若直线和双曲线有两个不同的公共点，则△=16（2m-1）²-12（4m²+4m+4）＞0，
解得：m＞1或m＜-2-----------（10分）

点评 本题考查参数方程以及极坐标方程与普通方程的互化，直线与双曲线的位置关系的应用，考查计算能力．