Question

1．如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz后，B（3，0，0），D（0，4，0），A₁（0，0，5），E（3，3，3），一质点从A点出发，沿直线向E点运动，然后会依次被长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各个面反弹（符合反射定律），
反弹点依次记为E、F、G、…，
（Ⅰ） 求反弹点F的坐标；
（Ⅱ） 求质点到达第三个反弹点G时的运动距离；
（Ⅲ） 试判断直线AE与直线FG的位置关系并证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如图所示，假设平面ABE与平面CDC₁D₁相交于MN，HE为法线．可得△AEH∽△EFM，可得MF．即可得出点F的坐标．
（Ⅱ）设反射光线与AN相交于点G．可得△GNF∽△EFM，可得NG．利用勾股定理可得：质点到达第三个反弹点G时的运动距离d=AE+EF+FG．
（Ⅲ）直线AE与直线FG的位置关系是AE∥FG．由（2）利用相似三角形的性质可得∠EAH=∠NGF，即可证明．

解答 解：（Ⅰ）如图所示，假设平面ABE与平面CDC₁D₁相交于MN，HE为法线．
则△AEH∽△EFM，
AH=BE=3$\sqrt{2}$，EH=3=AB，EM=$\sqrt{2}$．
∴$\frac{AH}{EM}=\frac{HE}{MF}$，可得MF=1．
又MK=1，∴F（2，4，4）．
（Ⅱ）设反射光线与AN相交于点G．
则△GNF∽△EFM，
∴$\frac{NG}{EM}$=$\frac{NF}{MF}$，解得NG=2$\sqrt{2}$．
∴质点到达第三个反弹点G时的运动距离d=AE+EF+FG=$\sqrt{{3}^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}}$+$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$+$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=6$\sqrt{3}$．
（Ⅲ）直线AE与直线FG的位置关系是AE∥FG．
证明如下：
由（2）可得：∠EAH=∠FEM=∠NGF，
∴AE∥FG．

点评 本题考查了空间位置关系、线面平行与垂直的判定及其性质定理、勾股定理、反射定理的应用、平行的判定与性质定理、相似三角形的判定与性质定理，考查了空间位置关系转化为平面图形的方法、空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．