Question

20．（本小题满分14分）

已知圆和椭圆的一个公共点为．为椭圆的右焦点，直线与圆相切于点．
（Ⅰ）求值和椭圆的方程；
（Ⅱ）圆上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标．

Answer 1

，圆上存在点或或，使
为等腰三角形．         

20．解：（Ⅰ）由题可知，                …………………………1分
，，
，又，                ……………………………3分
法一：为圆的切线，，，
设，则有，
，              …………………5分
又，，，
所以椭圆的方程为  …………6分
法二：为圆的切线，，，
设，则有，，             …………………5分
又，，，         …………6分
法三：为圆的切线，则圆心到直线的距离等于，
又，，
，              ……………………………5分
又，，，       ……………6分
（Ⅱ）法一：假设存在点，使为等腰三角形，
则点满足…………①，           ………………7分
下面分三种情况讨论：
（1）当时，
有，即…………②
由①②联立得：，                  ……………………………9分
（2）当时，
有，即…………③
由①③联立得：，            …………………………11分
（3）当时，
有，即…………④
由①④联立得：，又，       …………………13分
综上，圆上存在点或或，使
为等腰三角形．                         …………………14分
法二：假设存在点，使为等腰三角形，下面分三种情况讨论：
（1）当时，
关于轴对称点也在圆上，
                ………………8分
（2）当时，，
又圆的直径为，为圆的直径，
此时由、及中点公式得；  …………………11分
（3）当时，设，则有

，              ………………………13分
综上，圆上存在点或或，使
为等腰三角形．                      …………………………14分