Question

设，分别是椭圆的左、右焦点，与直线相切的交椭圆于点，恰好是直线与的切点.
（1）求该椭圆的离心率；
（2）若点到椭圆的右准线的距离为，过椭圆的上顶点A的直线与交于B、C两点，且，求λ的取值范围.

Answer 1

（1）椭圆的离心率为 （2）或…

（1）由题意可知：的半径为b，⊥，∴(2a-b)²+b²=4(a²-b²)
即2a=3b,所以椭圆的离心率为……………………  6分
（2）由椭圆的定义可得：，a=3，∴点的坐标为…9分
∴圆的方程为 ……………………10分
∴点A在圆外，且AB·AC=5；∴,
若，则，此时；……………………14分
若，则，此时……………………16分
另解：由椭圆的定义可得：，a=3，∴点的坐标为…9分
∴圆的方程为 ……………………10分
设直线AC的方程为y=kx+2；由此得：；……………………11分
设点B（x₁，y₁）C（x₂，y₂）∵，∴x₁＝λ x₂ ；
由得
∴
∴；……………………14分
∴
∴或……………………16分