Question

【题目】已知函数.

（1）若曲线在点处的切线斜率为1，求函数的单调区间；

（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在R上单调递增；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据曲线在点处的切线斜率为1，可求出参数的值，再对导函数的零点进行分类讨论，即可求出函数的单调区间；（Ⅱ）由，构造辅助函数，再对进行求导，讨论的取值范围，利用函数单调性判断函数的最值，进而确定的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）∵∴∴，

∴，记∴，

当x<0时， 单减；

当x>0时，单增，

∴，

故恒成立，所以在上单调递增．

（Ⅱ）∵，令∴，

当时，∴在上单增，∴．

i）当即时，恒成立，即∴在上单增，

∴，所以．

ii）当即时，∵在上单增，且，

当时，，

∴使，即．

当时，，即单减；

当时，，即单增．

∴，

∴，由∴．

记，

∴∴在上单调递增，

∴∴．

综上，．