Question

已知f（x）=sinxcosx-

3

cos2x+

3

2

，x∈[0，π]，函数g（x）=f（x）-m有两个不相等的零点．
（1）求m的取值范围；
（2）求函数g（x）的两零点之和．

Answer 1

分析：（1）化简 f（x）=sin(2x-

π

3

)，在同一坐标系中，作出函数y=sinu(-

π

3

≤u≤

5π

3

)的图象和直线y=m的图象，
如图易知，满足条件的 m的取值范围为(-1，-

3

2

)∪(-

3

2

，1)．
（2）当m∈(-

3

2

，1)时，函数y=sinu(-

π

3

≤u≤

5π

3

)的图象关于直线u=

π

2

对称，g（x）的两零点之和为：

u1+ π 3

2

+

u2+ π 3

2

=

5π

6

；当m∈(-1，-

3

2

)时，函数y=sinu(-

π

3

≤u≤

5π

3

)的图象关于直线u=

3π

2

对称，
函数g（x）的两零点之和为：

u1+ π 3

2

+

u2+ π 3

2

=

11π

6

．

解答：解：（1）f(x)=

1

2

sin2x-

3

2

(1+cos2x)+

3

2

=sin(2x-

π

3

)．  又x∈[0，π]，故-

π

3

≤2x-

π

3

≤

5π

3

．
在同一坐标系中，作出函数y=sinu(-

π

3

≤u≤

5π

3

)的图象和直线y=m的图象．如图易知，
 两图象有两个公共点时，m的取值范围为(-1，-

3

2

)∪(-

3

2

，1)．
又由于u=2x-

π

3

是单调函数，x与u是一一对应，故上述范围即为所求．

（2）由图知，直线y=-

3

2

分函数y=sinu(-

π

3

≤u≤

5π

3

)图象成上下两部分，上、下两部分的图象分别关于直线u=

π

2

与u=

3π

2

对称，故函数g（x）的两零点之和须分两种情况讨论求解，即分m∈(-

3

2

，1)与m∈(-1，-

3

2

)．
当m∈(-

3

2

，1)时，函数y=sinu(-

π

3

≤u≤

5π

3

)的图象为直线y=-

3

2

的上面部分，它关于直线u=

π

2

对称，
于是sinu=m的两根之和为：u₁+u₂=2×

π

2

=π，从而函数g（x）的两零点之和为：

u1+ π 3

2

+

u2+ π 3

2

=

5π

6

；
当m∈(-1，-

3

2

)时，函数y=sinu(-

π

3

≤u≤

5π

3

)的图象为直线y=-

3

2

的下面部分，它关于直线u=

3π

2

对称，
于是sinu=m的两根之和为：u₁+u₂=2×

3π

2

=3π，从而函数g（x）的两零点之和为：

u1+ π 3

2

+

u2+ π 3

2

=

11π

6

．
综上所述，函数两零点之和为

5π

6

或

11π

6

．

点评：本题考查两角和差的正弦公式，正弦函数的单调性，对称性，体现了数形结合的数学思想，在同一坐标系中，作出函数y=sinu(-

π

3

≤u≤

5π

3

)的图象和直线y=m的图象，是解题的关键．