【题目】已知函数,直线
.
(1)若直线与曲线
有且仅有一个公共点,求公共点横坐标的值;
(2)若,求证:
.
【答案】(1)公共点的横坐标为和
;(2)见解析
【解析】试题分析:
(1)利用题意分类讨论 和
可得公共点横坐标的值为
和
;
(2)利用不等式的特点构造函数,结合新函数的特点和题意可得结论成立.
试题解析:
解:(1)由,得
,
易知时,
单调递减,
时,
单调递增,
根据直线的方程
,可得
恒过点
,
①当时,直线
垂直
轴,与曲线
相交于一点,即焦点横坐标为
;
②当时,设切线
,直线
可化为
,斜率
,
又直线和曲线
均过点
,则满足
,
所以,两边约去
后,
可得,化简得
,
切点横坐标,综上所述,由①和②可知,该公共点的横坐标为
和
;
(2)①若时,欲证
,
由题意,由问可知
在
上单调递减,证
对
恒成立即可.
设函数,则
,
即,
设,则
,
易知时,
单调递减,
时,
单调递增,
当时,有
,且满足
,故
,
即,又
,则
,
所以在
上单调递减,有
,
即,所以
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】大学生赵敏利用寒假参加社会实践,对机械销售公司7月份至12月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查,销售单价和销售量
之间的一组数据如下表所示:
月份 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
销售单价 | 9 | 9.5 | 10 | 10.5 | 11 | 8 |
销售量 | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 | 14 |
(1)根据7至11月份的数据,求出关于
的回归直线方程;
(2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元,则认为所得到的回归直线方程是理想的,试问(1)中所得到的回归直线方程是否理想?
(3)预计在今后的销售中,销售量与销售单价仍然服从(1)中的关系,若该种机器配件的成本是2.5元/件,那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润?(注:利润=销售收入-成本).
参考公式:回归直线方程,其中
,参考数据:
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400 家.为掌握各类超市的营业情况,现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本,应抽取中型超市( )
A.70家
B.50家
C.20家
D.10家
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是( )
A.73.3,75,72
B.72,75,73.3
C.75,72,73.3
D.75,73.3,72
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知命题p:若x>0,则函数y=x+ 的最小值为1,命题q:若x>1,则x2+2x﹣3>0,则下列命题是真命题的是( )
A.p∨q
B.p∧q
C.(¬p)∧(¬q)
D.p∨(¬q)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知向量 =(
,
),
=(2,cos2x﹣sin2x).
(1)试判断 与
能否平行?请说明理由.
(2)若x∈(0, ],求函数f(x)=
的最小值.
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