【题目】已知函数,直线
.
(1)若直线与曲线
相切,求切点横坐标的值;
(2)若函数,求证:
.
【答案】(1)公共点的横坐标为;(2)见解析
【解析】试题分析:(1)设切点,根据导数几何意义得
,又
,解得
,最后讨论切线斜率不存在的情形不满足题意,(2)先等价转化不等式为
对一切
恒成立,再利用导数研究函数
最小值
,即得结论
试题解析:(1)由,得
,
易知时,
单调递减,
时,
单调递增,
根据直线的方程
,可得
恒过点
,
①当时,直线
垂直
轴,与曲线
相交于一点,无切点;
②当时,设切点
,直线
可化为
,斜率
,
又直线和曲线
均过点
,则满足
,
所以,两边约去
后,
可得,化简得
,
切点横坐标,综上所述,由①和②可知,该公共点的横坐标为
;
(2)欲证 ,即证
对一切
恒成立,设
,则
,易知
时,
单调递减,
时,
单调递增,所以
,原命题得证
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【题目】已知抛物线:
的焦点
也是椭圆
:
(
)的一个焦点,
与
的公共弦长为
.
(Ⅰ)求的方程
(Ⅱ)过点的直线
与
相交于
,
两点,与
相交于
,
两点,且
,
同向.若
求直线
的斜率;
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【题目】在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下:9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为( )
A.9.4,0.484
B.9.4,0.016
C.9.5,0.04
D.9.5,0.016
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【题目】如图所示的几何体中,四边形
为菱形,
,
,
,
,平面
平面
,
,
为
的中点,
为平面
内任一点.
(1)在平面内,过
点是否存在直线
使
?如果不存在,请说明理由,如果存在,请说明作法;
(2)过,
,
三点的平面将几何体
截去三棱锥
,求剩余几何体
的体积.
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【题目】已知D是以点A(4,1),B(﹣1,﹣6),C(﹣2,3)为顶点的三角形区域(包括边界及内部).
(1)写出表示区域D的不等式组;
(2)设点B(﹣1,﹣6)、C(﹣2,3)在直线4x﹣3y﹣a=0的异侧,求a的取值范围;
(3)若目标函数z=kx+y(k<0)的最小值为﹣k﹣6,求k的取值范围.
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【题目】用一个平面去截正方体,对于截面的边界,有以下图形:①钝角三角形;②直角梯形;③菱形;④正五边形;⑤正六边形.则不可能的图形的选项为( )
A.③④⑤
B.①②⑤
C.①②④
D.②③④
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