Question

已知．
（1）若存在单调递减区间，求实数的取值范围；
（2）若,求证：当时，恒成立；
（3）设，证明：.

Answer 1

（1）；（2）证明过程详见试题解析；（3）证明过程详见试题解析.

解析试题分析：（1）当时，∴. ∵ 有单调减区间，∴有解.分两种情况讨论有解.可得到的取值范围是；（2）此问就是要证明函数在上的最大值小于或等于，经过求导讨论单调性得出当时，有最大值，命题得证；（3）利用（2）的结论，将此问的不等关系，转化成与（2）对应的函数关系进行证明.
试题解析：（1）当时，
∴. 
∵ 有单调减区间，∴有解，即
∵ ，∴ 有解.
（ⅰ）当时符合题意；
（ⅱ）当时，△，即。
∴的取值范围是.
（2）证明：当时，设，
∴ .
∵，
讨论的正负得下表：
 
∴当时有最大值0.
即恒成立.
∴当时，恒成立.
（3）证明：∵，
∴
 

 
由（2）有
∴.
考点：函数与导数；不等式综合.