Question

15．设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若a₅＞0，a₁+a₁₀＜0，则当S_n最大时正整数n为（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 10

Answer 1

分析 由等差数列通项公式得到d＜0，4＜-$\frac{{a}_{1}}{d}$＜$\frac{9}{2}$，由此能求出当S_n最大时正整数n的值．

解答 解：∵S_n为等差数列{a_n}的前n项和，a₅＞0，a₁+a₁₀＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d＞0}\\{2{a}_{1}+9d＜0}\end{array}\right.$，
∴$-4d＜{a}_{1}＜-\frac{9}{2}d$，d＜0，
∴4＜-$\frac{{a}_{1}}{d}$＜$\frac{9}{2}$
S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}d$=$\frac{d}{2}{n}^{2}$+（a₁-$\frac{d}{2}$）n=$\frac{d}{2}（n+\frac{2{a}_{1}-d}{2d}）^{2}-\frac{d}{2}（\frac{2{a}_{1}-d}{2d}）^{2}$，
∴n=$\frac{d-2{a}_{1}}{2d}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{{a}_{1}}{d}$∈（$\frac{7}{2}$，5），
∴当S_n最大时正整数n为5．
故选：B．

点评 本题考查等差数列前n项和最大时正整数n的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．