Question

20．在锐角△ABC中，$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{\sqrt{3}ab}$=$\frac{cosC}{sin（B+C）}$．
（1）求角A；
（2）若a=2，且sinB+cos（C+2B-$\frac{5π}{6}$）取得最大值时，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理、诱导公式化简所给的式子，求得sinA 的值，可得A的值．
（2）由（1）可得B+C=$\frac{2π}{3}$，故有C+2B-$\frac{5π}{6}$=B-$\frac{π}{6}$，再利用两角和差的三角公式、正弦函数的值域求得sinB+cos（C+2B-$\frac{5π}{6}$）取得最大值$\sqrt{3}$，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积．

解答 解：（1）锐角△ABC中，∵$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{\sqrt{3}ab}$=$\frac{cosC}{sin（B+C）}$，∴$\frac{2cosC}{\sqrt{3}}$=$\frac{cosC}{sinA}$，∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A=$\frac{π}{3}$．
（2）由（1）可得B+C=$\frac{2π}{3}$，∴C+2B-$\frac{5π}{6}$=B-$\frac{π}{6}$，
∴sinB+cos（C+2B-$\frac{5π}{6}$）=sinB+cos（B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
故当B+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，即B=$\frac{π}{3}$时，sinB+cos（C+2B-$\frac{5π}{6}$）取得最大值$\sqrt{3}$，此时，A=B=C=$\frac{π}{3}$，△ABC为等边三角形，
∴△ABC的面积为 $\frac{1}{2}$•bc•sinA=$\frac{1}{2}$•2•2•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用、两角和差的三角公式，属于基础题．