Question

7．已知抛物线C：x²=4y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若$\overrightarrow{PF}$=4$\overrightarrow{QF}$，则|QF|=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由抛物线的焦点坐标和准线方程，设出P，Q的坐标，得到向量PF，FQ的坐标，由向量共线的坐标关系，以及抛物线的定义，即可求得．

解答 解：抛物线C：x²=4y的焦点为F（0，1），准线为l：y=-1，
设P（a，-1），Q（m，$\frac{{m}^{2}}{4}$），
则$\overrightarrow{PF}$=（-a，2），$\overrightarrow{QF}$=（-m，-$\frac{{m}^{2}}{4}$+1），
∵$\overrightarrow{PF}$=4$\overrightarrow{QF}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-a=-4m}\\{2=4（-\frac{{m}^{2}}{4}+1）}\end{array}\right.$，解得m²=2，
由抛物线的定义可得
|QF|=$\sqrt{（-m）^{2}+（-\frac{{m}^{2}}{4}+1）^{2}}$=$\sqrt{2+\frac{1}{4}}$=$\frac{3}{2}$．
故选：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查抛物线的定义和性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．