Question

18．根据定积分的性质和几何意义，$\int_0^1$[$\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}$-x]dx=$\frac{π-2}{4}$．

Answer 1

分析 首先利用定积分的可加性将所求写成两个定积分的差的形式，然后分别按照几何意义和求原函数的方法求定积分．

解答 解：已知$\int_0^1$[$\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}$-x]dx=${∫}_{0}^{1}\sqrt{1-（x-1）^{2}}dx$-${∫}_{0}^{1}xdx$，
定积分${∫}_{0}^{1}\sqrt{1-（x-1）^{2}}dx$表示以（1，0）为圆心，1为半径的$\frac{1}{4}$圆，所以${∫}_{0}^{1}\sqrt{1-（x-1）^{2}}dx$=$\frac{1}{4}π$，
${∫}_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2}{x}^{2}{|}_{0}^{1}=\frac{1}{2}$，
所以所求定积分为$\frac{π-2}{4}$；
故答案为：$\frac{π-2}{4}$．

点评 本题考查了定积分的可加性以及利用几何意义求定积分．