Question

8．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≤1}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，则ω=$\frac{4x+2y-16}{x-3}$的取值范围是[5，6]．

Answer 1

分析 根据分式的性质进行转化，结合直线斜率的几何意义，求出斜率的取值范围即可得到结论．

解答 解：ω=$\frac{4x+2y-16}{x-3}$=$\frac{4（x-3）+2y-4}{x-3}$=4+2×$\frac{y-2}{x-3}$，
设k=$\frac{y-2}{x-3}$，
则k的几何意义是区域内的点到定点D（3，2）的斜率，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由图象得AD的斜率最大，BD的斜率最小，
其中A（0，$\frac{1}{2}$），B（1，0），
此时k_AD=$\frac{\frac{1}{2}-2}{0-3}$=$\frac{1}{2}$，此时ω最小为ω=4$+2×\frac{1}{2}$=4+1=5，
时k_BD=$\frac{0-2}{1-3}$=1，此时ω最大为ω=4+2×1=6，
故5≤ω≤6，
故答案为：[5，6]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据分式函数的性质结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强．