Question

19．求证：$\sqrt{a}$-$\sqrt{a-2}$＜$\sqrt{a-1}$-$\sqrt{a-3}$（a≥3）．

Answer 1

分析 使用分析法逐步找出使不等式成立的条件即可．

解答 证明：欲证$\sqrt{a}$-$\sqrt{a-2}$＜$\sqrt{a-1}$-$\sqrt{a-3}$，
只需证：（$\sqrt{a}-\sqrt{a-2}$）²＜（$\sqrt{a-1}-\sqrt{a-3}$）²，即2a-2-2$\sqrt{{a}^{2}-2a}$＜2a-4-2$\sqrt{{a}^{2}-4a+3}$．
只需证：$\sqrt{{a}^{2}-2a}$＞1+$\sqrt{{a}^{2}-4a+3}$，
只需证：a²-2a＞a²-4a+4+2$\sqrt{{a}^{2}-4a+3}$，即a-2＞$\sqrt{{a}^{2}-4a+3}$，
只需证：a²-4a+4＞a²-4a+3，
只需证：4＞3．
显然，4＞3恒成立，
∴$\sqrt{a}$-$\sqrt{a-2}$＜$\sqrt{a-1}$-$\sqrt{a-3}$（a≥3）．

点评 本题考查了分析法证明不等式，属于中档题．