Question

11．已知函数f（x）=ax³+cx（a≠0，a∈R，c∈R），当x=1时，f（x）取得极值-2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调区间和极大值；
（3）若对任意x₁、x₂∈[-1，1]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤t恒成立，求实数t的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，得到关于a，c的方程组，解出a，c的值即可；
（2）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可；
（3）求出f（x）在[-1，1]的最大值和最小值，]，从而求出|f（x₁）-f（x₂）|的最大值，得到t的最小值即可．

解答 解：（1）由已知得：f′（x）=3ax²+c…（1分）
又当x=1时，f（x）取得极值-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=-2}\\{f′（1）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a+c=-2}\\{3a+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-3}\end{array}\right.$…（3分）
∴f（x）=x³-3x．…（4分）
（2）f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），令f′（x）=0，得x=±1，
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x＜-1或x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
∴函数f（x）的递增区间是（-∞，-1）和（1，+∞）；递减区间为（-1，1）．…（6分）
因此，f（x）在x=-1处取得极大值，且极大值为f（-1）=2．…（7分）
（3）由（2）知，函数f（x）在区间上单调递减，
且f（x）在区间上的最大值为M=f（-1）=2．最小值为m=f（1）=-2．…9（10分）
∴对任意x₁、x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤M-m=4成立．
故t≥4，t的最小值为4…（10分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及不等式问题，是一道中档题．