Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点，.

（1）求证：平面；

（2）点在线段上，，试确定的值，使平面；

（3）若平面，平面平面，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）60°

【解析】

（1）连接，根据几何性质可证明，利用线面垂直的判定，即可证明平面；

（2）连接交于N，连接，由相似三角形性质可得，结合直线与平面平行的性质，可得，利用比例关系，即可得到结论；

（3）证明平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，取平面的法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求得二面角的大小.

（1）证明：连接.

因为四边形为菱形，，所以为正三角形.

又为的中点，所以.

因为，为的中点，所以.

又，

所以平面.

（2）当时，平面.

理由如下：连接交于N，连接.

因为，所以.

因为平面，平面，平面平面，

所以，

所以，

所以，即.

（3）因为，平面平面，交线为，

所以平面.

以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系：

由，则有，，.

设平面的法向量为，由，

且，，可得，

令，得.

所以为平面的一个法向量.

取平面的法向量，

则，

故二面角的大小为.