Question

17．如图，A，B，C是圆O上不共线的三点，OD⊥AB于D，BC和AC分别交DO的延长线于P和Q，求证：∠OBP=∠CQP．

Answer 1

分析 连接OA，推出∠ACB=∠DOB，证明∠BOP=∠QCP，说明B，O，C，Q四点共圆，证明即可．

解答 [选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
证明：连接OA，因为OD⊥AB，OA=OB，所以$∠BOD=∠AOD=\frac{1}{2}∠AOB$，
又$∠ACB=\frac{1}{2}∠AOB$，所以∠ACB=∠DOB，…（5分）

又因为∠BOP=180°-∠DOP，∠QCP=180°-∠ACB，所以
∠BOP=∠QCP，所以B，O，C，Q四点共圆，
所以∠OBP=∠CQP．…（10分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系，四点共圆的应用，考查转化思想以及逻辑推理能力．