Question

2．已知函数f（x）=xe^x-$\frac{1}{2}$a（x+1）²（其中a∈R，e为自然对数的底数，e=2.718128…）．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过代入a=1可知f（x）=xe^x-$\frac{1}{2}$（x+1）²，进而求导解不等式可得函数f（x）的单调区间；
（2）通过求导可知f′（x）=（x+1）（e^x-a），分a≤0、a＞0两种情况讨论即可．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=xe^x-$\frac{1}{2}$（x+1）²，
则f′（x）=e^x+xe^x-（x+1）=（x+1）（e^x-1），
由f′（x）=0，得x=-1或x=0．
列表得：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以f（x）的增区间为（-∞，-1），（0，+∞）；减区间为（-1，0）；
（2）求导可知f′（x）=e^x+xe^x-a（x+1）=（x+1）（e^x-a），
当a≤0时e^x-a＞0，此时令f′（x）=0可知x=-1，
从而函数f（x）的增区间为（-1，+∞）、减区间为（-∞，-1），
此时f（x）有极小值点-1；
当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=-1或x=lna．
①当lna=-1即a=$\frac{1}{e}$时，则f′（x）≥0，即函数f（x）在R上为增函数，此时f（x）无极值点；
②当lna＞-1即a＞$\frac{1}{e}$时，则由f′（x）＞0可知x＜-1或x＞lna，由f′（x）＜0可知-1＜x＜lna，
即函数f（x）的增区间为（-∞，-1），（lna，+∞）、减区间为（-1，lna），
此时f（x）有极大值点-1、极小值点lna；
③当lna＜-1即0＜a＜$\frac{1}{e}$时，则由f′（x）＞0可知x＜lna或x＞-1，由f′（x）＜0可知lna＜x＜-1，
即函数f（x）的增区间为（-∞，lna），（-1，+∞）、减区间为（lna，-1），
此时f（x）有极大值点lna、极小值点-1；
综上所述，当a≤0时函数f（x）有一个极值点，当a=$\frac{1}{e}$时函数f（x）没有极值点，当0＜a＜$\frac{1}{e}$或a＞$\frac{1}{e}$时函数f（x）有两个极值点．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．