Question

13．下列满足“?x∈R，f（x）+f（-x）=0且f′（x）≤0”的函数是（　　）

• A． f（x）=-xe^|x|
• B． f（x）=x+sinx
• C． f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lg（x+1），x≥0}\\{lg（1-x），x＜0}{\;}\end{array}\right.$
• D． f（x）=x²|x|

Answer 1

分析 满足“?x∈R，f（x）+f（-x）=0，且f′（x）≤0”的函数为奇函数，且在R上为减函数，进而得到答案．

解答 解：满足“?x∈R，f（x）+f（-x）=0，且f′（x）≤0”的函数为奇函数，且在R上为减函数，
A中函数f（x）=-xe^|x|，满足f（-x）=-f（x），即函数为奇函数，
且f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-1{）e}^{-x}，x＜0}\\{-（x+1{）e}^{x}，x≥0}\end{array}\right.$≤0恒成立，故在R上为减函数，
B中函数f（x）=x+sinx，满足f（-x）=-f（x），即函数为奇函数，但f′（x）=1+cosx≥0，在R上是增函数，
C中函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lg（x+1），x≥0}\\{lg（1-x），x＜0}\\{\;}\end{array}\right.$，满足f（-x）=f（x），故函数为偶函数；
D中函数f（x）=x²|x|，满足f（-x）=f（x），故函数为偶函数，
故选：A．

点评 本题以全称命题为载体，考查了函数的奇偶性和函数的单调性，难度中档．