Question

23．已知向量

m

=（1，

a

x

），

n

=（x，1）其中a∈R，函数f（x）=

m

•

n

（Ⅰ）试求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）试求当a=1时，函数f（log₂x）在区间（1，+∞）上的最小值；
（Ⅲ）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，试求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用,平面向量及应用

分析：（I）利用数量积运算即可得出．
（II）利用对数函数的单调性与基本不等式的性质即可得出．
（III）利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=

m

•

n

=x+

a

x

，（x≠0）．
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x+

1

x

．
∵x∈（1，+∞）时，log₂x＞0，
∴f（log₂x）=log2x+

1

log2x

≥2

log2x• 1 log2x

=2，
当且仅当log2x=

1

log2x

即x=2时，f（log₂x）取最小值2．
（ III）∵函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，
∴f′(x)=1-

a

x2

≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
∴a≤x²在区间[1，+∞）上恒成立，
∴a≤1．

点评：本题考查了数量积运算、对数函数的单调性与基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．