Question

在△ABC中，角A为锐角，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量

.

m

=（cosA，sinA），

.

n

=（cosA，-sinA），且

.

m

•

.

n

=

1

2

．
（1）求角A的大小；
（2）若a=

7

，c=

3

求△ABC的面积S．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式，求出cos2A的值，即可确定出A的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，把a，c，cosA的值代入求出b的值，再利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积S．

解答： 解：（1）∵

.

m

=（cosA，sinA），

.

n

=（cosA，-sinA），且

.

m

•

.

n

=

1

2

，
∴cos2A=

1

2

．
∵0＜A＜

π

2

，∴0＜2A＜π，
∴2A=

π

3

，
则A=

π

6

；
（2）∵a=

7

，c=

3

，cosA=

3

2

，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得：7=b²+3-3b，
解得：b=-1（舍去）或b=4，
则S=

1

2

bcsinA=

3

．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．