Question

已知

m

=（2cosx+2

3

sinx，1），

n

=（cosx，-y），且

m

⊥

n

．
（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的对称轴的方程；
（2）若函数y=f（x）的图象在y轴右侧的最高点的横坐标组成一个数列{a_n}，求a₁+a₂+…+a₂₀₁₅的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数量积判断两个平面向量的垂直关系

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知利用向量垂直的性质和三角函数知识，得y=2cos²x+2

3

sinxcosx=2sin（2x+

π

6

）+1，由此能求出f（x）的对称轴的方程．
（2）由三角函数的性质得a_n=

π

2

+2（n-1）π，n∈N^*，由此能求出a₁+a₂+…+a₂₀₁₅的值．

解答： 解：（1）∵

m

=（2cosx+2

3

sinx，1），

n

=（cosx，-y），且

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=2cos²x+2

3

sinxcosx-y=0，
∴y=2cos²x+2

3

sinxcosx
=

3

sin2x+cos2x+1
=2sin（2x+

π

6

）+1，
f（x）的对称轴的方程为：2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，
整理，得x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z．
（2）∵y=2sin（2x+

π

6

）+1，∴当2x+

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈Z时，y取最大值3，
∵函数y=f（x）的图象在y轴右侧的最高点的横坐标组成一个数列{a_n}，
∴a_n=

π

2

+2（n-1）π，n∈N^*，
∴a₁+a₂+…+a₂₀₁₅=

π

2

×2015+2(1+2+3+…+2014)π
=

2015π

2

+2014×2015π
=4059217.5π．

点评：本题考查函数解析式的求法，考查数列的前2015项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．