Question

1．已知f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\sqrt{2}$sin²$\frac{x}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[0，π]上的单调减区间．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式及变形，两角和的正弦公式化简解析式，由三角函数的周期公式求出f（x）的最小正周期；
（2）由x∈[0，π]求出x+$\frac{π}{4}$的范围，由正弦函数的单调性求出函数f（x）在区间[0，π]上的单调减区间．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\sqrt{2}$sin²$\frac{x}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1-cosx）=$sin（x+\frac{π}{4}）-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{1}=2π$；
（2）由x∈[0，π]得，x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
由$\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{4}≤\frac{5π}{4}$得，$\frac{π}{4}≤x≤π$，
∴f（x）在区间[0，π]上的单调减区间是$[\frac{π}{4}，π]$．

点评 本题考查了二倍角公式及变形，两角和的正弦公式，以及正弦函数的图象与性质，考查整体思想，化简、变形能力．