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椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上任一点P到两个焦点的距离的和为6,焦距为4
2
,A,B分别是椭圆的左右顶点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若P与A,B均不重合,设直线PA与PB的斜率分别为k1,k2,证明:k1•k2为定值;
(Ⅲ)设C(x,y)(0<x<a)为椭圆上一动点,D为C关于y轴的对称点,四边形ABCD的面积为S(x),设f(x)=
S2(x)
x+3
,求函数f(x)的最大值.
(Ⅰ)由题意得,2a=6,∴a=3.
2c=4
2
,∴c=2
2
,b2=a2-c2=1,故椭圆的方程为
x2
9
+y2=1

(Ⅱ)设P(x0,y0)(y0≠0),A(-3,0),B(3,0),,则
x02
9
+y02=1
,即
y20
=1-
x20
9
,则k1=
y0
x0+3
k2=
y0
x0-3
,即 k1k2=
y20
x20
-9
=
1-
x20
9
x20
-9
=-
1
9
,∴k1•k2为定值 -
1
9

(Ⅲ)由题意,四边形ABCD是梯形,则 S(x)=
1
2
(6+2x)|y|
,且y2=1-
x2
9

于是,f(x)=
S2(x)
x+3
=
(x+3)2(1-
x2
9
)
x+3
=-
x3
9
-
x2
3
+x+3
 (0<x<3),
f′(x)=-
x2
3
-
2
3
x+1
.  令f'(x)=0,解之得x=1或x=-3(舍去),
当0<x<1,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当1<x<3,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
所以f(x)在x=1时取得极大值,也是最大值
32
9
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1、F2,离心率e=
2
2
,右准线方程为x=2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点,且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
,求直线l的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1(a>b>0)与过点A(2,0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=
3
2

(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,求证:|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1(a>b>0)与过点A(2,0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=
3
2

(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,M为线段AF1的中点,求证:∠ATM=∠AF1T.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设 A(x1,y1)、B(x2,y2)是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)上的两点,O为坐标原点,向量
m
=(
x1
a
y1
b
),
n
=(
x2
a
y2
b
)
m
n
=0

(1)若A点坐标为(a,0),求点B的坐标;
(2)设
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
,证明点M在椭圆上;
(3)若点P、Q为椭圆 上的两点,且
PQ
OB
,试问:线段PQ能否被直线OA平分?若能平分,请加以证明;若不能平分,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:四川 题型:解答题

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1、F2,离心率e=
2
2
,右准线方程为x=2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点,且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
,求直线l的方程.

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