Question

5．如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB=$\sqrt{3}$BC，将直角△ABE沿BE边折起，A点在平面BCDE上的射影为D点，则对翻折后的几何体有如下描述：
（1）AB与DE所成角的正切值是$\sqrt{2}$；
（2）三棱锥B-ACE的体积是$\frac{1}{6}{a^3}$；
（3）直线BA与平面ADE所成角的正弦值为$\frac{1}{3}$．
（4）平面EAB⊥平面ADE；
（5）四棱锥A-BCDE的外接球的表面积为πa²
其中错误的叙述的是③⑤．

Answer 1

分析 对于①，由于BC∥DE，则∠ABC（或其补角）为AB与DE所成角，求出tan∠ABC加以判断；
对于②，根据三棱锥的体积公式即可求V_B-ACE的体积；
对于③，确定∠BAE为直线BA与平面ADE所成角，求解即可判断；
对于④，证明BE⊥平面ADE，利用面面平行的判定，可得平面EAB⊥平面ADE；
对于⑤，把四棱锥A-BCDE的外接球，转化为以D为一个顶点，以DA、DC、DE为三条棱的正方体的外接球求解判断．

解答 解：作出折叠后的几何体直观图如图所示：
对于①，∵AB=$\sqrt{3}$a，BE=a，∴AE=$\sqrt{2}$a．
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}-D{E}^{2}}=a$，∴AC=$\sqrt{C{D}^{2}+A{D}^{2}}=\sqrt{2}a$．
在△ABC中，cos∠ABC=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}=\frac{3{a}^{2}+{a}^{2}-2{a}^{2}}{2\sqrt{3}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sin∠ABC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠ABC}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴tan∠ABC=$\frac{sin∠ABC}{cos∠ABC}=\sqrt{2}$．
∵BC∥DE，∴∠ABC是异面直线AB，DE所成的角，故①正确；
对于②，三棱锥B-ACE的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•AD=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{a}^{2}•a=\frac{1}{6}{a}^{3}$，故②正确；
对于③，∵BE⊥平面ADE，∴∠BAE为直线BA与平面ADE所成角，
在△BAE中，∠BEA=90°，BE=a，AB=$\sqrt{3}$a，
∴sin∠BEA=$\frac{BE}{AB}=\frac{a}{\sqrt{3}a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，故③错误；
对于④，∵AD⊥平面BCDE，BE?平面BCDE，∴AD⊥BE，
∵BE⊥ED，AD∩ED=D，∴BE⊥平面ADE，
∵BE?平面EAB，∴平面EAB⊥平面ADE，故④正确；
对于⑤，四棱锥A-BCDE的外接球，即以D为一个顶点，以DA、DC、DE为三条棱的正方体的外接球，其半径R满足（2R）²=3a²，
∴R=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，则棱锥A-BCDE的外接球的表面积为4π•$（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}=3π{a}^{2}$，故⑤错误．
∴错误的命题是③⑤．
故答案为：③⑤．

点评 本题考查图形的翻折，考查空间线面位置关系，搞清翻折前后的变与不变是关键，是中档题．