Question

15．如图，四棱锥A-BCDE中，CD⊥平面ABC，BE∥CD，AB=BC=CD，AB⊥BC，M为AD上一点，EM⊥平面ACD．
（Ⅰ）求证：EM∥平面ABC．
（Ⅱ）若CD=2BE=2，求点D到平面EMC的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC的中点F，连接BF，证明BF⊥平面ACD，结合EM⊥平面ACD，所以EM∥BF，再结合线面平行的判定定理得到EM∥面ABC；
（Ⅱ）由等面积法求出点D到平面EMC的距离．

解答 证明：（Ⅰ）取AC的中点F，连接BF，
因为AB=BC，所以BF⊥AC，
又因为CD⊥平面ABC，所以CD⊥BF，
所以BF⊥平面ACD，…（3分）
因为EM⊥平面ACD，
所以EM∥BF，
因为EM?面ABC，BF?平面ABC，
所以EM∥平面ABC； …（6分）
解：（Ⅱ）因为EM⊥平面ACD，EM?面EMC，
所以平面CME⊥平面ACD，平面CME∩平面ACD=CM，
过点D作直线DG⊥CM，则DG⊥平面CME，…（9分）
由已知CD⊥平面ABC，BE∥CD，AB=BC=CD=2BE，可得AE=DE，
又EM⊥AD，
所以M为AD的中点，
在Rt△ABC中，$AC=\sqrt{2}BC=2\sqrt{2}$，
在Rt△ADC中，$AD=\sqrt{C{D^2}+A{C^2}}=2\sqrt{3}$，
${S_{△CDM}}=\frac{1}{2}{S_{△ACD}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$，
在△DCM中，$CM=\frac{1}{2}AD=\sqrt{3}$，
由等面积法知$\frac{1}{2}×CM×DG=\sqrt{2}$，
所以$DG=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
即点D到平面EMC的距离为$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，点D到平面EMC的距离，其中熟练掌握空间线面平行或垂直的判定、性质、定义、几何特征是解答此类问题的关键．