Question

已知过曲线上任意一点作直线的垂线，垂足为,且.

⑴求曲线的方程；

⑵设、是曲线上两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

 

Answer 1

⑴

⑵当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.

【解析】

试题分析：⑴要求曲线方程,但是不知道是哪种曲线,所以只能设点.根据,转化为求曲线方程即可;

⑵要证明直线恒过定点,必须得有直线方程,所以首先设出直线方程.又因为两个角是直线和的倾斜角,所以点也得设出来.利用韦达定理,然后讨论的范围变化,证明并得出定点坐标.

试题解析：⑴设，则，由得，;

即;所以轨迹方程为;

⑵设，由题意得（否则）且,

所以直线的斜率存在，设其方程为，

因为在抛物线上,所以，

将与联立消去，得;

由韦达定理知①;

(1)当时，即时，,所以，

,所以.由①知：,所以

因此直线的方程可表示为，即.

所以直线恒过定点

(2)当时，由，得==

将①式代入上式整理化简可得：，所以，

此时，直线的方程可表示为,

即,所以直线恒过定点;

所以由(1)(2)知，当时，直线恒过定点，

当时直线恒过定点. 12分

考点：相关点法求曲线方程;分类讨论.