Question

已知椭圆

x2

4

+y2=1，过点M（-1，0）作直线l交椭圆于A，B两点，O是坐标原点．
（1）求AB中点P的轨迹方程；
（2）求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．

Answer 1

（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
则

x 21 4 + y 21 =1，(1) x 22 4 + y 22 =1，(2)

（1）-（2），得

(x1-x2)(x1+x2)

4

+(y1-y2)(y1+y2)=0，
∴

x

4

+

y

x+1

•y=0，即x²+x+4y²=0
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
令l：x=hy-1代入x²+4y²=4，得（4+h²）y²-2hy-3=0，△=16（h²+3）＞0，
y₁+y₂=

2h

4+h2

，y₁y₂=-

3

4+h2

∴S=

1

2

•|OM|•|y1-y2|=

1

2

•

△

4+h2

=

2 h2+3

h2+4

，
令

h2+3

=t≥

3

，则S=

2t

t2+1

=

2

t+ 1 t

在[

3

，+∞)上单调递减，
∴t=

3

，即h=0时，Smax=

3

2

，此时l：x=-1．