Question

已知函数f(x)＝ln x－ax＋1在x＝2处的切线斜率为－.

(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间；

(2)设g(x)＝，对?x1∈(0，＋∞)，?x2∈(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，求正实数k的取值范围；

(3)证明： ＋＋…＋<(n∈N*，n≥2)．

 

Answer 1

（1）即f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．

（2）k≥1

（3）见解析

【解析】(1)解　由已知得f′(x)＝－a，∴f′(2)＝－a＝－，解得a＝1.

于是f′(x)＝－1＝，

当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，

即f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．

(2)解　由(1)知x1∈(0，＋∞)，f(x1)≤f(1)＝0，即f(x1)的最大值为0，

由题意知：对?x1∈(0，＋∞)，?x2∈(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，

只需f(x)max≤g(x)max.

∵g(x)＝＝x＋＋2k＝－＋2k≤－2＋2k，

∴只需－2 ＋2k≥0，解得k≥1.

(3)证明　要证明＋＋…＋<(n∈N*，n≥2)．

只需证＋＋…＋<，

只需证＋＋…＋<.

由(1)当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，

f(x)＝ln x－x＋1≤0，即ln x≤x－1，

∴当n≥2时，ln n2<n2－1，

<＝1－<1－＝1－＋，

＋＋…＋<＋＋…＋＝n－1－＋＝，

∴ ＋＋…＋<.