Question

12．在△ABC中，已知三边的长分别是sinα，sinβ，sin（α+β）（$α，β∈（{0，\frac{π}{2}}）$），则△ABC外接圆的面积为$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 设a=sinα，b=sinβ，c=sin（α+β），（$α，β∈（{0，\frac{π}{2}}）$），由余弦定理结合三角恒等变换公式可得cosC=-cos（α+β），进而得到sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=sin（α+β），再由正弦定理可得外接圆的直径为1，由圆的面积公式计算即可得到所求值．

解答 解：设a=sinα，b=sinβ，c=sin（α+β），（$α，β∈（{0，\frac{π}{2}}）$），
由sin（a+b）sin（a-b）=（sinacosb+cosasinb）（sinacosb-cosasinb）
=sin²acos²b-cos²asin²b=sin²a（1-sin²b）-（1-sin²a）sin²b=sin²a-sin²b，
可得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{si{n}^{2}α+si{n}^{2}β-si{n}^{2}（α+β）}{2sinαsinβ}$
=$\frac{si{n}^{2}α+sin（α+2β）sin（-α）}{2sinαsinβ}$=$\frac{sinα-sin（α+2β）}{2sinβ}$
=$\frac{2cos（α+β）sin（-β）}{2sinβ}$=-cos（α+β），
则sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=sin（α+β），
即有△ABC外接圆的直径2R=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{sin（α+β）}{sin（α+β）}$=1，
可得R=$\frac{1}{2}$，△ABC外接圆的面积为$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查外接圆的面积，求出半径是解题的关键，同时考查三角恒等变换的运用，属于中档题．