Question

2．已知函数f（x）=x²+2ax+3在（-∞，1]上是减函数，当x∈[a+1，1]时，f（x）的最大值与最小值之差为g（a），则g（a）的最小值是1．

Answer 1

分析 根据f（x）的单调区间求出a的范围，利用f（x）的单调性求出f（x）的最大值和最小值，得出g（a）的解析式，利用g（a）的单调性计算g（a）的最小值．

解答 解：解：∵f（x）在（-∞，1]上是减函数，
∴-a≥1，即a≤-1．
∴f（x）在[a+1，1]上的最大值为f（a+1）=3a²+4a+4，
最小值为f（1）=4+2a，
∴g（a）=3a²+2a=3（a+$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{3}$，
∴g（a）在（-∞，-1]上单调递减，
∴g（a）的最小值为g（-1）=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了二次函数的单调性判断，最值计算，属于中档题，