Question

4．记区间（x₁，x₂）的长度为L=x₂-x₁，已知函数$f（x）=\frac{1}{3}a{x^2}+\frac{1}{2}b{x^2}+cx+d$（a＞b＞c），其图象在点（1，f（1））处的切线斜率为0，则函数f（x）单调递减区间的长度L的取值范围为（　　）

• A． $（{1，\frac{3}{2}}）$
• B． $（{\frac{3}{2}，3}）$
• C． （1，3）
• D． （2，3）

Answer 1

分析 求出函数的导数，求得切线的斜率可得a+b+c=0，由a＞b＞c，可得a＞0，c＜0，求出-$\frac{1}{2}$＞$\frac{c}{a}$＞-2，由f′（1）=0得到方程有一根为1，设出另一根，根据韦达定理可表示出另一根，根据求出的范围求出另一根的范围，令导函数大于0的不等式的解集应该为x大于另一根小于1，所以L就等于1减另一根，求出1减另一根的范围即可．

解答 解：f'（x）=ax²+bx+c，
由图象在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
得f'（1）=0，即a+b+c=0，
由a＞b＞c知：a＞0，c＜0．
由a＞b=-a-c＞c，得-$\frac{1}{2}$＞$\frac{c}{a}$＞-2，
由f'（1）=0知：方程f'（x）=0即ax²+bx+c=0的一根为1，
设另一根为x₀，则由韦达定理，得x₀=$\frac{c}{a}$．
由a＞0，令f'（x）=ax²+bx+c＜0，得x₀＜x＜1，
设函数f（x）单调递减区间为[m，n]，
则[m，n]=[x₀，1]，从而L=n-m=1-x₀∈（$\frac{3}{2}$，3），
故选B．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查不等式的性质的运用，以及二次方程的韦达定理，属于中档题．