Question

7．在正四棱锥P-ABCD中，AB=6，二面角P-BC-A的大小为$\frac{π}{3}$，则异面直线PB与AD所成角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 求出正四棱锥P-ABCD的高为3$\sqrt{3}$，P到BC的距离为6，PB=$\sqrt{9+36}$=3$\sqrt{5}$，利用AD∥BC，可得∠PBC是异面直线PB与AD所成角，即可得出结论．

解答 解：由题意，作出PO⊥平面ABCD，PE⊥BC，连接OE，
∵正四棱锥P-ABCD中，AB=6，二面角P-BC-A的大小为$\frac{π}{3}$，
∴正四棱锥P-ABCD的高为PO=3$\sqrt{3}$，P到BC的距离为PE=6，
∴PB=$\sqrt{9+36}$=3$\sqrt{5}$，
∵AD∥BC，
∴∠PBC是异面直线PB与AD所成角，
∴sin∠PBC=$\frac{6}{3\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故选B．

点评 本题考查面面角、线线角，考查学生的计算能力，正确转化是关键．