Question

17．已知{a_n}为等比数列，a₁=1，a₄=27； S_n为等差数列{b_n} 的前n 项和，b₁=3，S₅=35．
（1）求{a_n}和{b_n} 的通项公式；
（2）设数列{c_n} 满足c_n=a_nb_n（n∈N*），求数列{c_n} 的前n 项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，由a₁=1，a₄=27；可得1×q³=27，解得q．设等差数列{b_n} 的公差为d，由b₁=3，S₅=35．可得5×3+$\frac{5×4}{2}d$=35，解得d．
（2）c_n=a_nb_n=（2n+1）•3^n-1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₁=1，a₄=27；∴1×q³=27，解得q=3．
∴${a}_{n}={3}^{n-1}$．
设等差数列{b_n} 的公差为d，∵b₁=3，S₅=35．∴5×3+$\frac{5×4}{2}d$=35，解得d=2．
∴b_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）c_n=a_nb_n=（2n+1）•3^n-1．
∴数列{c_n} 的前n 项和T_n=3+5×3+7×3²+…+（2n+1）•3^n-1．
3T_n=3×3+5×3²+…+（2n-1）•3^n-1+（2n+1）•3ⁿ．
∴-2T_n=3+2×（3+3²+…+3^n-1）-（2n+1）•3ⁿ=3+$2×\frac{3（{3}^{n-1}-1）}{3-1}$-（2n+1）•3ⁿ．
∴T_n=n•3ⁿ．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．