Question

6．设p：实数t满足t²-5at+4a²＜0（其中a≠0），q：方程$\frac{{x}^{2}}{t-2}$+$\frac{{y}^{2}}{t-6}$=1表示双曲线．
（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真命题，求实数t的取值范围；
（Ⅱ）若q是p的充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用p∧q为真命题，即可求实数t的取值范围；
（Ⅱ）利用q是p的充分条件，⇒命题q所包含的a的集合是命题p所包含a的集合的子集，求实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）命题p真：a=1，则不等式为t²-5t+4＜0，即1＜t＜4，
命题q真：则（t-2）（t-6）＜0，即2＜t＜6．
若p∧q为真命题，则p，q都为真命题，
即$\left\{\begin{array}{l}{1＜t＜4}\\{2＜t＜6}\end{array}\right.$，解得2＜t＜4，
则实数t的取值范围{t|2＜t＜4}．
（Ⅱ）命题p真：t²-5at+4a²＜0（其中a≠0），则（t-a）（t-4a）＜0，
若a＞0，则得a＜t＜4a；若a＜0，则4a＜t＜a，
q真：t∈（2，6），
∵若q是p的充分条件，
则当a＞0时，$\left\{\begin{array}{l}{4a≥6}\\{a≤2}\end{array}\right.$⇒$\frac{3}{2}≤a≤2$；
若a＜0，则不满足条件．
即实数a的取值范围是[$\frac{3}{2}$，2]．

点评 本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．