Question

1．把函数y=sin（x-$\frac{π}{3}$）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变）得到函数f（x）的图象．
（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[0，$\frac{5π}{6}$]时，关于x的方程f（x）-m=0有两个不等的实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据图象左右平移和横向伸缩变换的原则可得到解析式；
（Ⅱ）方程f（x）-m=0有两个不等实数根等价于直线y=m与y=sinθ（-$\frac{π}{6}＜θ＜\frac{3π}{2}$）有两个交点，结合函数图象可知m范围．

解答 解：（Ⅰ）函数y=sin（x-$\frac{π}{3}$）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度，得到y=sin（x-$\frac{π}{6}$），再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变）得到函数f（x）的图象，∴$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）$ …（5分）
（Ⅱ）由f（x）-m=0得sin（2x-$\frac{π}{6}$）=m
令2x-$\frac{π}{6}=θ$，由x$∈[0，\frac{5π}{6}]$得$θ∈[-\frac{π}{6}，\frac{3π}{2}]$…（7分）
方程f（x）-m=0有两个不等实数根等价于直线y=m与y=sinθ（-$\frac{π}{6}＜θ＜\frac{3π}{2}$）有两个交点，结合函数图象可知-$\frac{1}{2}≤m＜1$…（10分）

点评 本题考查三角函数的图象与性质的运用，属于中等题．