Question

12．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}2x-y+4≥0\\ x-2y-5≤0\\ x+2y-4≤0\end{array}\right.$，则z=2x+3y的最大值与最小值之差为（　　）

• A． -$\frac{68}{3}$
• B． $\frac{371}{12}$
• C． $\frac{33}{4}$
• D． $\frac{28}{5}$

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}2x-y+4≥0\\ x-2y-5≤0\\ x+2y-4≤0\end{array}\right.$，作出可行域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+4=0}\\{x-2y-5=0}\end{array}\right.$，解得B（$-\frac{13}{3}$，$-\frac{14}{3}$），$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-5=0}\\{x+2y-4=0}\end{array}\right.$可得A（$\frac{9}{2}$，$\frac{1}{4}$）
化目标函数z=2x+3y，
由图可知，当直线z=2x+3y过B时，直线在y轴上的截距最小，
z有最小值为-$\frac{68}{3}$．
当直线z=2x+3y过A时，直线在y轴上的截距最大，
z有最大值为：$\frac{39}{4}$．
则z=2x+3y的最大值与最小值之差为：$\frac{39}{4}+\frac{68}{3}$=$\frac{371}{12}$．
故选：B．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．