Question

17．已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，P（1，m）是抛物线C上的一点．
（1）若椭圆$C'：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{n}=1$与抛物线C有共同的焦点，求椭圆C'的方程；
（2）设抛物线C与（1）中所求椭圆C'的交点为A、B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，即可得椭圆C的焦点坐标，结合椭圆的几何性质可得4-n=1，解可得n的值，代入椭圆的方程，即可得答案；
（2）联立抛物线与椭圆的方程，消去y得到3x²+16x-12=0，解可得x的值，即可得A、B的坐标，进而可得双曲线的渐近线方程，由此设双曲线方程为6x²-y²=λ（λ≠0），结合抛物线的几何性质可得λ的值，即可得答案．

解答 解：（1）根据题意，抛物线C：y²=4x，其焦点坐标为（1，0），
椭圆$C'：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{n}=1$的焦点为（1，0），则有c=1，
对于椭圆$C'：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{n}=1$，可知4-n=1，∴n=3，
故所求椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，消去y得到3x²+16x-12=0，解得${x_1}=\frac{2}{3}，{x_2}=-6$（舍去）．
所以$A（\frac{2}{3}，\frac{2}{3}\sqrt{6}），B（\frac{2}{3}，-\frac{2}{3}\sqrt{6}）$，则双曲线的渐近线方程为$y=±\sqrt{6}x$，
由渐近线$\sqrt{6}x±y=0$，可设双曲线方程为6x²-y²=λ（λ≠0）．
由点P（1，m）在抛物线C：y²=4x上，解得m²=4，P（1，±2），
因为点P在双曲线上，∴6-4=λ=2，
故所求双曲线方程为：$3{x^2}-\frac{y^2}{2}=1$．

点评 本题考查椭圆、双曲线的几何性质，涉及椭圆、双曲线以及抛物线的标准方程的应用，关键是熟练掌握圆锥曲线的标准方程的形式．