Question

7．（1）利用“五点法”画出函数$f（x）=sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）$在$[{-\frac{π}{3}，\frac{11π}{3}}]$内的简图

x
$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$
y

（2）若对任意x∈[0，2π]，都有f（x）-3＜m＜f（x）+3恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据列表、描点、连线的基本步骤，画出函数在一个周期在$[{-\frac{π}{3}，\frac{11π}{3}}]$的大致图象即可．
（2）根据x∈[0，2π]，求解f（x）的值域，要使f（x）-3＜m＜f（x）+3恒成立，转化为最小和最大值问题．

解答 解：（1）根据题意，函数$f（x）=sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）$在$[{-\frac{π}{3}，\frac{11π}{3}}]$内的列表如下：

x	$-\frac{π}{3}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{5π}{3}$	$\frac{8π}{3}$	$\frac{11π}{3}$
$\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
y	0	1	0	-1	0

在平面直角坐标系内可得图象如下：

（2）通过图象可知：当x∈[0，2π]时，函f（x）值域为$[{-\frac{1}{2}，1}]$，
要使f（x）-3＜m＜f（x）+3恒成立，
即：$\left\{\begin{array}{l}{1-3＜m}\\{-\frac{1}{2}+3＞m}\end{array}\right.$
解得：$-2＜m＜\frac{5}{2}$，
∴m的取值范围是$m∈[{-2，\frac{5}{2}}]$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，解题时应根据画三角函数的图象的基本步骤画出图形，是基础题．