Question

6．已知以F为焦点的抛物线y²=4x上的两点A、B满足$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，求|AB|=$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 设BF=m，由抛物线的定义知AA₁和BB₁，进而可推断出AC和AB，及直线AB的斜率，则直线AB的方程可得，与抛物线方程联立消去y，进而跟韦达定理求得x₁+x₂的值，则根据抛物线的定义求得弦AB的长度．

解答 解：设$|\overrightarrow{FB}|=m$，由$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，可得：$|\overrightarrow{FA}|$=3m，
由抛物线的定义知AA₁=3m，BB₁=m，
∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，k_AB=$\sqrt{3}$，
∴直线AB方程为y=$\sqrt{3}$（x-1），
与抛物线方程联立消y得3x²-10x+3=0
所以|AB|=x₁+x₂+2=$\frac{16}{3}$，
故答案为：$\frac{16}{3}$．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题．常需要利用抛物线的定义来解决．