Question

14．已知圆C：（x-1）²+y²=r²（r＞0）与直线l：y=x+3，且直线l上有唯一的一个点P，使得过点P作圆C的两条切线互相垂直．设EF是直线l上的一条线段，若对于圆C上的任意一点Q，$\overrightarrow{QE}•\overrightarrow{QF}≤0$，则$|{\overrightarrow{EF}}|$的最小值是4+4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由圆的对称性知直线l上的唯一点P与圆心C（1，0）所在直线必与直线l垂直，求得PC所在直线方程，与直线l求得交点P，再根据对称性可得r=2，由题意，知|EF|取得最小值时，一定关于直线y=-x+1对称，画出图形，通过图形观察，当两圆相内切时，求得最小值．

解答 解：根据圆的对称性知直线l上的唯一点P与圆心C（1，0）所在直线必与直线l垂直，
则PC所在直线的方程为x+y=1，与直线y=x+3联立求得P（-1，2），
再根据对称性知过点P（-1，2）的两条切线必与坐标轴垂直，r=2；
由题意，知|EF|取得最小值时，一定关于直线y=-x+1对称，如图所示，
因此可设以点P（-1，2）为圆心，以R为半径的圆，
即（x+1）²+（y-2）²=R²与圆C内切时，
$|{\overrightarrow{EF}}|$的最小值即为2R，
由相切条件易知2R=2（|CP|+2）=2（2$\sqrt{2}$+2）=4+4$\sqrt{2}$．
故答案为：4+4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，圆与圆的位置关系，考查数形结合思想方法，注意几何法的运用，考查运算能力，属于中档题．