Question

已知椭圆C的焦点在x轴上，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点．若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA=

2

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求点R（0，1）与椭圆C上的点N之间的最大距离；
（Ⅲ）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点P（-3，0），交y轴于点M．若

MQ

=2

QP

，求直线l的斜率．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）依题意，根据cos∠OFA=

2

3

，求出c，进而可求b，则椭圆的方程可得；
（Ⅱ）用两点间的距离公式，结合配方法，即可求出点R（0，1）与椭圆C上的点N之间的最大距离；
（Ⅲ）设出直线l的方程，则M的坐标可得，设出Q的坐标，根据

MQ

=2

QP

，求得x₁和y₁代入椭圆方程求得k．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知，点A是椭圆C短轴的端点．
设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，半焦距为c（c＞0）
在Rt△OFA中，cos∠OFA=

2

3

，
∵a=3，∴c=2，
∴b²=5
∴椭圆C的方程为

x2

9

+

y2

5

=1…（4分）
（Ⅱ）设N（x₀，y₀），
∵N在椭圆上，∴

x02

9

+

y02

5

=1，
∴x02=9-

9

5

y02，
∴|RN|2=x02+(y0-1)2=-

4

5

y02-2y0+10…（8分）
∵y0∈[-

5

，

5

]
∴当y0=-

5

4

时，|RN|max=

3 5

2

．…（9分）
（Ⅲ）根据题意设直线l的方程为y=k（x+3），点M（0，3k）
设Q(x1，y1)，由于

MQ

=2

QP

∴（x₁，y₁-3k）=2（-3-x₁，-y₁）
解得：x₁=-2，y₁=k…（12分）
又Q在椭圆上，得

(-2)2

9

+

k2

5

=1，解得：k=±

5

3

…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题．