Question

7．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，则“a₂＞0且a₁＞0”是“数列{S_n}单调递增”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充分必要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，d≠0．可得：S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d=$\frac{d}{2}$$（n-\frac{d-2{a}_{1}}{2d}）^{2}$-$\frac{（d-2{a}_{1}）^{2}}{8d}$，数列{S_n}单调递增，可得d＞0，$\frac{d-2{a}_{1}}{2d}$≤1，因此d+2a₁≥0．由a₂＞0且a₁＞0，可得a₂=a₁+d＞0．即可判断出结论．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，d≠0．
S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d
=$\frac{d}{2}$n²+$（{a}_{1}-\frac{d}{2}）n$
=$\frac{d}{2}$$（n-\frac{d-2{a}_{1}}{2d}）^{2}$-$\frac{（d-2{a}_{1}）^{2}}{8d}$，
∵数列{S_n}单调递增，
∴d＞0，$\frac{d-2{a}_{1}}{2d}$≤1，
可得d+2a₁≥0．
由a₂＞0且a₁＞0，可得a₂=a₁+d＞0．
∴“a₂＞0且a₁＞0”是“数列{S_n}单调递增”的既不充分又不必要条件．
故选：D．

点评 本题考查了函数的性质、不等式的性质、等差数列的通项公式及其前n项和公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．