Question

12．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁=A₁C₁，点D，E分别是B₁C₁，A₁B₁的中点，AA₁=AB=BD=1，∠A₁AB=60°．
（1）求证：AC₁∥平面A₁BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面A₁B₁C₁．

Answer 1

分析 （1）连结AB₁，交A₁B于点F，连结DF，由中位线定理得DF∥AC₁，故而AC₁∥平面A₁BD；
（2）由菱形和等边三角形的性质可求得BE，DE，利用勾股定理的逆定理得出BE⊥DE，故而BE⊥平面A₁B₁C₁，于是平面BDE⊥平面A₁B₁C₁．

解答 解：（1）连结AB₁，交A₁B于点F，连结DF，
∵四边形ABB₁A₁是平行四边形，∴F是AB₁的中点
又∵D是B₁C₁的中点，
∴DF∥AC₁，又∵DF?平面A₁BD，AC₁?平面A₁BD，
∴AC₁∥平面A₁BD．
（2）∵AA₁=AB=1，∠A₁AB=60°，
∴△ABA₁是等边三角形，∴A₁B=1．
∵BB₁=AA₁=1，A₁B₁=AB=1，∴△B₁BA₁是等边三角形，
∵E是A₁B₁的中点，∴BE⊥A₁B₁，BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵D是B₁C₁的中点，E是A₁B₁的中点，A₁B₁=A₁C₁，
∴DE=$\frac{1}{2}$A₁C₁=$\frac{1}{2}{A}_{1}{B}_{1}$=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{1}{2}$．
∵BD=1，∴BD²=BE²+DE²，∴BE⊥DE．
∵A₁B₁?平面A₁B₁C₁，DE?平面A₁B₁C₁，A₁B₁∩DE=E，
∴BE⊥平面A₁B₁C₁，
∵BE?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面A₁B₁C₁．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．