Question

1．设奇函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{acosx-\sqrt{3}sinx+c，x≥0}\\{cosx+bsinx-c，x＜0}\end{array}\right.$，则a+b的值为-1-$\sqrt{3}$．不等式f（x）＞f（-x）在x∈[-π，π]上的解集为（$\frac{2π}{3}$，π]∪（-$\frac{2π}{3}$，0）．

Answer 1

分析 根据奇函数的性质求得a、b的值，可得a+b的值．由条件利用分段函数，解三角不等式，求得x的范围．

解答 解：由奇函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{acosx-\sqrt{3}sinx+c，x≥0}\\{cosx+bsinx-c，x＜0}\end{array}\right.$，不妨设x＞0，则-x＜0，
由f（-x）=-f（x），可得 cos（-x）-bsinx-c=-[acosx-$\sqrt{3}$sinx+c]，
可得a=-1，b=-$\sqrt{3}$．
再根据f（0）=a-0+c=-1+c=0，可得c=1，故a+b=-1-$\sqrt{3}$．
由f（x）＞f（-x）=-f（x），可得2f（x）＞0．
根据f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-cosx-\sqrt{3}sinx+1，x≥0}\\{cosx-\sqrt{3}sinx-1，x＜0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{-cosx-\sqrt{3}sinx+1＞0}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{cosx-\sqrt{3}sinx-1＞0}\end{array}\right.$②．
再根据x∈[-π，π]，且x≥0，可得x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
再由①可得sin（x+$\frac{π}{6}$）＜$\frac{1}{2}$，求得$\frac{5π}{6}$＜x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，即 $\frac{2π}{3}$＜x≤π．
再根据x∈[-π，π]，且x＜0，可得x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$），
由②可得cos（x+$\frac{π}{3}$）＞$\frac{1}{2}$，求得-$\frac{π}{3}$＜x+$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{3}$，即-$\frac{2π}{3}$＜x＜0．
综上可得，不等式f（x）＞f（-x）在x∈[-π，π]上的解集为（$\frac{2π}{3}$，π]∪（-$\frac{2π}{3}$，0），
故答案为：-1-$\sqrt{3}$；（$\frac{2π}{3}$，π]∪（-$\frac{2π}{3}$，0）．

点评 本题主要考查奇函数的性质，分段函数的应用，解三角不等式，属于中档题．